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C语言中蓄水池抽样

问题起源于编程珠玑Column 12中的题目10，其描述如下：

How could you select one of n objects at random, where you see the objects sequentially but you do not know the value of n beforehand? For concreteness, how would you read a text file, and select and print one random line, when you don’t know the number of lines in advance?

(1)在不知道文件总行数n的情况下，如何从文件中随机的抽取一行?

解：先选择第一个行，并使用1/2的概率选择第二个行，使用1/3的概率选择第三行，使用1/i的概率选择第i行，以此类推。在过程结束时，每个对像被选中的概率都是1/n。

用P(i)表示处于第i行时第i行被选中的概率。

P(1)=1

P(2)=1/2

P(3)=1/3

则选择第3行的时候，对于第1行来讲选中的概率=第一行被选中概率*第二行没被选中*第3行没被选中概率。

p(1)all=P(1)*(1-P(2))(1-P(3))=1/3

p(2)all=P(2)*(1-P(3))=1/3

p(3)all=P(3)=1/3

证明：

1最终被选中的概率：1被选中的概率*2没有被选中的概率*3没有被选中的概率*…*n没有被选中的概率

p(1)all=1*(1-1/2)(1-1/3)*…*(1-1/n)=1/n

m最终被选中的概率：m被选中的概率*m+1没有被选中的概率*m+2没有被选中的概率*…*n没有被选中的概率(1=m

p(m)all=1/m*[1-1/(m+1)][1-1/(m+2)]*…*[1-1/n]=1/n

(2)对其进行扩展，即如何从未知或者很大样本空间随机地取k个数?

给你一个长度为N的链表。N很大，但你不知道N有多大。你的任务是从这N个元素中随机取出k个元素。你只能遍历这个链表一次。你的算法必须保证取出的元素恰好有k个，且它们是完全随机的(出现概率均等)。

解：先选中前k个， 从第k+1个元素到最后一个元素为止， 以k/i (i=k+1, k+2,...,N) 的概率选中第i个元素，并且随机替换掉一个原先选中的元素， 这样遍历一次得到k个元素， 可以保证完全随机选取。

证明：

n最终被选中的概率： n被选中的概率*[(n+1)没有被选中的概率+(n+1)被选中概率*n没被替换的概率]

p(n)all=k/n*[(1-k/(n+1))+k/(n+1)*(1-1/k)]=k/(n+1)