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考研数学证明题的解题技巧

NO.1 利用函数的单调性

利用单调性来证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，其适应范围很广。它的解题思路是将所要证明的不等式作某些必要或适当的变形之后，选取适当的函数F(x)及区间[a，b]，再利用导数确定函数F(x)在区间[a，b]内的单调性。如果当一阶导数不能确定函数的单调性时，则利用高阶导数来判断函数的单调性，然后取函数F(x)在区间[a，b]端点处的函数值，则可以得证不等式。

NO.2 利用中值定理

微分中值定理在高等数学不等式的证明中的作用也是非常大的。当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差f(b)-f(a)时，一般可考虑用拉格朗日中值定理来证明。柯西定理是拉格朗日定理的一个推广，当不等式或其变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，一般可考虑用柯西定理来证明。

NO.3 利用函数的最大最小值

通过函数的最大值!最小值来证明不等式是一种比较特殊的方法，它主要是利用连续函数在区间上的最大最小值定理。其思路是求出函数在区间上的最大值M或者最小值m，则函数在区间中的任何值都满足f(x)<=M 或者f(x)>=M

NO.4 利用函数的凹凸性

如果在所要证明的结论中包含形如的项，那么往往可以考虑寻找合适的函数，应用函数的凹凸性来证明不等式。

NO.5 利用泰勒级数展开式

如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过泰勒公式将函数展开来进行证明。

NO.6 利用定积分中值定理

定积分中值定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。其思路是通过中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，得出证明。

NO.7 利用定积分的性质

NO.8 利用柯西&施瓦茨不等式

关于柯西—施瓦茨不等式: 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，则有

当不等式中含有带平方项的积分时，往往可通过柯西—施瓦茨不等式来进行证明。

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